Resümee

pp. 353-362

in: Christian Tapp, An den Grenzen des Endlichen, Berlin, Springer, 2013

Abstract

Hilbert verfolgte mit seinem Programm grundsätzlich das Ziel, den Verdacht zu entkräften, in den die "gewöhnliche Mathematik" durch die Entdeckung der sog. "logisch-mengentheoretischen Antinomien" geraten war: Können Widersprüche nicht immer wieder auftreten? Was versichert die Mathematik davor? Diese Situation war für Hilbert "unerträglich", die Mathematik sollte ihren Nimbus als Musterwissenschaft unbezweifelbarer Theorien wiedergewinnen. Seine Idee bestand darin, beweisen zu wollen, daß die mathematischen Schlußprinzipien sicher sind, und das heißt konkret, daß aus ihnen keine Widersprüche ableitbar sind. Genauer ging es ihm darum, die Widerspruchsfreiheit mathematischer Theorien in einer Weise mathematisch zu beweisen, daß keine Zweifel an der Gültigkeit dieser Beweise, also keine Zweifel an der Widerspruchsfreiheit und damit an der Zuverlässigkeit der untersuchten mathematischen Theorien mehr bestehen könnten. Die spezielle Weise, in der die Widerspruchsfreiheit zu beweisen ist, muß so gewählt sein, daß ihre Resultate aus anderen Gründen als sicher gelten können, d. h. ohne selbst wieder einen ähnlichen Widerspruchsfreiheitsbeweis zu benötigen. Denn wäre ein solcher weiterer Widerspruchsfreiheitsbeweis nötig, so würden auch die dafür verwendeten Beweismittel wiederum einen solchen Beweis verlangen und das Ganze letztlich auf einen infiniten Regreß hinauslaufen.